Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

«Уральский государственный технический университет –УПИ»

 

 

 

Утверждаю

Проректор университета

 

______________ О.И. Ребрин

“_____”   ________ 2006 г.

 

 

 

 

 

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА  ДИСЦИПЛИНЫ

 

Математический анализ

 

 

Рекомендовано Методическим советом УГТУ-УПИ
для направления 210300 «Радиотехника»,
 специальности 210302 –  “Радиотехник-инженер”

специализаций «Эксплуатация и ремонт радиотехнических средств ПВО» и «Применение средств связи специальной разведки»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург  2006

Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего и среднего образования и учебным планом по направлениию 210300 «Радиотехника»,
 специальности 210302 –  “Радитехник-инженер”, утвержденному приказом Минобразования РФ № 72 мжд/СП от 10.03.2000 г.

 

Программу составил, Крохин Александр Леонидович, доцент, канд. физ. – мат. наук, кафедра ВМ и УМФ.

 

Программа одобрена на заседании кафедры “Вычислительные методы и уравнения математической физики” (ВМ и УМФ) 11 октября  2006 г.,  протокол  № 4.

Заведующий кафедрой ВМ и УМФ, доктор физ. – мат. наук,

 профессор                                                          П.С. Мартышко.

 

Программа одобрена Методической комиссией радиотехнического факультета  ________ 200_ г., протокол  №______.

Председатель методкомиссии доц., канд. техн. наук О.Г. Дружинина

 

Программа согласована:

Зав. кафедрой ПВО:	Зав. кафедрой «Военная разведка»
В.А.Колобов	И.Н.Коваленко

 

 

 

АННОТАЦИЯ СОДЕРЖАНИЯ  ДИСЦИПЛИНЫ

 

   Дисциплина является неотъемлемой составной частью общей системы математических дисциплин и посвящена изучению дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких вещественных переменных, теории числовых и степенных рядов, тригонометрических рядов Фурье, интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

 

 

 

 

1. Цели и задачи дисциплины

   «Математический анализ» - фундаментальная дисциплина, обеспечивающая успешное изучение специальных разделов математики и инженерных дисциплин.

 Целью данной дисциплины является обеспечение студентов математическими знаниями и умениями, позволяющими успешно осваивать специальные курсы, а также самостоятельно осваивать необходимые дополнительные разделы математики.

Задачами преподавания данной дисциплины являются:

-         развитие у студентов логического и алгоритмического мышления;

-         формирование математических знаний и умений в предусмотренном программой объеме;

-         выработку навыков самостоятельного углубления и расширения математические знания и проведения математического моделирования прикладных инженерных задач.

 

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

  4.2. В результате изучения дисциплины студент должен:

ЗНАТЬ:

-         основные понятия дифференциального и интегрального исчисления функций одной и многих переменных, их свойства и взаимосвязь;

-         основные понятия теории числовых и функциональных рядов, использование рядов  для приближенных  вычислений и для аппроксимации функций;

-         понятия функции комплексной переменной, ее производной, интеграла по дуге, ряды Тейлора и Лорана, вычеты;

-         основные свойства интегральных преобразований Фурье и Лапласа;

УМЕТЬ:

-         вычислять производные функций одной или нескольких переменных;

-         вычислять определенные, двойные и тройные интегралы;

-         исследовать свойства и строить графики ФОП;

-         находить экстремумы функций 1, 2х и 3х переменных;

-         строить степенные разложения и проводить с их помощью вычисление значений функций, определенных интегралов, решать дифференциальные уравнения;

-         строить разложение в ТРФ;

-         применять интегральные преобразования для решения ДУ и других, предусмотренных программой задач;

ОЗНАКОМИТЬСЯ:

-         с особенностями языка математики -  строением определений и теорем, основными методами логических рассуждений;

-         основными понятиями теории скалярного и векторного полей;

-         применением математических моделей для описания и исследования реальных объектов;

3. Объем дисциплины и виды учебной работы

 

Вид учебной работы	Всего часов	Семестр 1	Семестр 2	Семестр 3
Общая трудоемкость дисциплины	408	96	88	224
Аудиторные занятия	221	64	64	93
Лекции	108	32	32	44
Практические занятия (ПЗ)	108	32	32	44
Лабораторные работы (ЛР)	5	-	-	5
Самостоятельная работа	187	32	24
Расчетно-графические работы (РГР)	50
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ)	60
Подготовка к контрольной работе
Итоговый контроль	4	2	2
Зачет	2		2
Экзамен		экзамен		экзамен

4. Содержание дисциплины

4.1. Разделы дисциплины и виды занятий

 

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции час.	ПЗ час.	ЛЗ
1	Введение в математический анализ. Пределы ФОП и последовательности.	10	10
2	Дифференциальное исчисление ФОП, исследование и построение графиков.	12	10
3	Дифференциальное исчисление ФНП.	10	12
	Итого 1 семестр	32	32

 

4	Неопределенный интеграл	6	10
5	Определенный интеграл, приложения.	6	6
6	Несобственные интегралы	2	2
7	Двойные и тройные интегралы. Приложения.	6	4
8	Скалярное поле. Криволинейный и поверхностный интеграл 1 рода. Векторное поле. Криволинейный и поверхностный интеграл 2 рода.	12	10
	Итого 2 семестр	32	32

 

9	Числовые ряды	6	6
10	Функциональные ряды	10	12	3
11	Теория ФКП	10	10
12	Интегралы, зависящие от параметра	6	4
13	Преобразования Лапласа	6	6
14	Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье	6	6	2
	Итого 3 семестр	44	44	5

 

4.2. Содержание разделов дисциплины

 

Раздел 1.  Предмет математического анализа, сведения о множествах и логической символике,  отображения  и функции.  Действительные  числа:  алгебраические  свойства множества R действительных чисел; действия над действительными числами; существование  точной  верхней  (нижней)  грани числового множества, принцип вложенных отрезков.

Теория пределов: предел числовой последовательности; основные свойства и признаки существования предела;  предельные точки  множества и теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности;  предел  монотонной последовательности;  число "е";  верхний и нижний пределы; критерий Коши существования предела;  предел функции в точке; свойства пределов; бесконечно малые и бесконечно большие функции  и  последовательности;  предел отношения  синуса бесконечно малого аргумента к аргументу; критерий Коши существования предела; символы "о" , "О". 

Непрерывные функции:  локальные свойства непрерывных функций;  непрерывность  функции  от  функции; точки разрыва;  ограниченность функции, непрерывной на отрезке;  существование наибольшего и наименьшего  значений; прохождение через все промежуточные значения;  Монотонные функции;  существование  и непрерывность обратной функции; непрерывность элементарных функций.

Раздел 2. Дифференциалы и производные:  механический и геометрический смысл производной;  правила дифференцирования; дифференцируемость функций в точке; производная в точке,  дифференциал и их геометрический смысл;  производные и дифференциалы высших порядков;  формула Лейбница. Основные  теоремы дифференциального исчисления и их приложения:  теорема Ролля,  теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях;  локальная  формула Тейлора;  асимптотические разложения элементарных функций;  формула Тейлора с  остаточным  членом;  применение дифференциального исчисления к исследованию функций,  признаки знакопостоянства, монотонность, экстремумы,  выпуклость,  точки перегиба, раскрытие неопределенностей; геометрические приложения.

Раздел 3.  Понятие функции нескольких переменных, предел, непрерывность. Определение частных производных. Дифференцирование функции нескольких переменных в точке. Геометрический смысл. Связь понятий "непрерывность", "существование частных производных", "дифференцируемость" в точке. Достаточные условия дифференцируемости. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Неявные задания функций, представление их по формуле Тейлора. Локальный экстремум: необходимые и достаточные условия существования. Критерий Сильвестра. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных на замкнутой ограниченной области. 

Раздел 4. Неопределенный интеграл: первообразная функция, неопределенный интеграл и его свойства;  таблица формул интегрирования; замена переменной; интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций;  интегрирование некоторых простейших иррациональных  и трансцендентных функций. 

Раздел 5. Определенный интеграл:  задачи, приводящие к понятию определенного интеграла;  определенный интеграл Римана; интегрируемость  непрерывной  функции,  монотонной функции  и  ограниченной  функции  с конечным числом точек разрыва; свойства определенного интеграла, теорема о среднем  значении;  дифференцирование  по переменному верхнему пределу;  существование первообразной от непрерывной функции;  связь определенного интеграла с неопределенным: формула Ньютона-Лейбница; замена переменной; интегрирование по частям; длина дуги и другие геометрические, механические и физические приложения.

Раздел 6. Несобственные интегралы: интегралы  с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций;  признаки сходимости и вычисление.

Раздел 7. Двойной   и тройной интегралы: двойной  интеграл,  его геометрическая интерпретация и основные свойства; приведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле;  площадь поверхности; механическое и физическое приложения двойных и тройных интегралов. 

Раздел 8. Скалярное поле, его характеристики: поверхности уровня, производная по направлению, градиент. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности: криволинейные интегралы;  формула Грина;  интегралы по  поверхности;  формула Остроградского; элементарная формула Стокса; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути. векторное поле; поток, дивергенция, циркуляция, ротор; векторная интерпретация формул Остроградского и Стокса; потенциальное поле; векторные линии и  векторные  трубки;  соленоидальное  поле;  оператор "набла".

Раздел 9.  Числовые ряды:  сходимость и сумма числового ряда; критерий Коши; знакопостоянные ряды; сравнение рядов; признаки сходимости Даламбера,  Коши; интегральный признак сходимости; признак Лейбница;  абсолютная и условная сходимость; преобразование Абеля и его применение к рядам; перестановка членов абсолютно сходящегося ряда;  теорема Римана;  операции над рядами; двойные ряды; понятие о бесконечных произведениях. 

Раздел 10.  Функциональные последовательности и ряды:  равномерная сходимость; признаки равномерной сходимости;  теорема о предельном переходе; теоремы о непрерывности,  почленном интегрировании и дифференцировании; степенные ряды,  радиус сходимости, формула Коши-Адамара; равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда; почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов;  ряд Тейлора;  разложение элементарных функций в степенные ряды;  оценка с помощью формулы Тейлора погрешности при замене функции многочленом; применение рядов к приближенным  вычислениям.

Раздел 11. Теория функций комплексной переменной

Дифференцируемость функции комплексной переменной. Понятие и свойства аналитической функции комплексной переменной. Особые точки, их классификация через пределы. Понятие интеграла, его свойства и вычисление. Теоремы Коши, их использование для вычисления контурных интегралов функции комплексной переменной. Ряды Тейлора и Лорана. Классификация особых точек через ряды Лорана. Понятие вычета функции комплексной переменной в особой точке, в бесконечности. Теоремы о вычетах. Вычисление интегралов функции комплексной переменной с помощью вычетов. Лемма Жордано. Вычисление собственных и несобственных интегралов в действительной области методом теории функции комплексной переменной.

Раздел 12.  Интегралы, зависящие от параметра;  непрерывность,  дифференцирование и интегрирование по параметру;  несобственные интегралы; зависящие от параметра; равномерная сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру;  применение к вычислению некоторых интегралов; функции, определяемые с помощью интегралов,  бета- и  гамма-функции  Эйлера.

Раздел 13. Преобразование Лапласа

Определение оригинала и изображения (по Лапласу). Теорема о существовании изображения и о его свойствах. Теоремы о свойствах преобразования Лапласа: однородность, аддитивность, подобие, дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения, сдвиг аргумента в оригинале и в изображении. Изображение периодического сигнала. Свертка оригиналов и её свойства. Теорема Бореля. Формулы Дюамаля. Обратное преобразование Лапласа, его свойства. Восстановление оригинала по изображению: таблица, разложение на сумму элементарных дробей, использование теорем Бореля и Дюамаля, с помощью теорем обращения. Решение операционным методом ЛДУ и СЛДУ с постоянными коэффициентами и начальными условиями в нуле.

Раздел 14. Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье

Произвольный тригонометрический ряд. Достаточное условие его равномерной сходимости, свойства его суммы. Представление периодической функции в виде тригонометрического ряда. Теорема о необходимых условиях представимости функции тригонометрическим рядом. Определение тригонометрического ряда Фурье периодической функции. Формулы коэффициентов Фурье функции.

Теоремы о достаточных условиях поточечной сходимости ТРФ к функции, его "породившей". ТРФ для четных и нечетных функций, для функций, заданных на отрезке. Примеры разложений в ТРФ периодических сигналов. ТРФ в комплексной форме. Спектры периодической функции, их свойства. Интеграл Фурье непериодической функции, заданной на всей числовой оси. Условия представимости функции её ИФ. Различные формы записи ИФ. Спектральная функция, свойства амплитудного и фазового спектров непериодической функции. Прямое и обратное преобразование Фурье, их свойства. Теоремы о свёртках оригиналов и изображений (по Фурье). Связь преобразования Фурье и преобразования Лапласа.

Понятие дельта-функций и её использование в преобразовании Фурье не абсолютно интегрируемых на всей числовой оси функций.   

  5. Практические и лабораторные занятия

            5.1 Перечень тем практических занятий

Содержание лекций и практических занятий, как правило, совпадают, поэтому перечень тем практических занятий не дублируется.

 

6. Самостоятельная работа

 

Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях, лабораторных и практических занятиях. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы, на подготовку к лабораторным занятиям, на выполнение курсовой работы и на подготовку к защите курсовой работы.

 

6.2. Контрольная работа.

 Темы контрольных работ

№ п/п	№ раздела	Наименование
1	3	"Неопределенный интеграл"
2	4	"Дифференцирование функций нескольких переменных"

 

6.3 Домашняя работа

Перечень тем домашних работ

№ п/п	№ раздела	Наименование
1	1	«Введение в анализ»
2	2	"Исследование функции и построение ее графика"
3	5	"Интеграл по фигуре"
4	6	"Векторный анализ"
5	8	"Функции комплексной переменной"
6	9	"Операционное исчисление в задачах"
7	10	"Интеграл Фурье"

 

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

7.1. Рекомендуемая литература

7.1.1. Основная литература

1.       Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. 1-2. М.: Наука, 1989.

2.      Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, Т. 1-2. М.: Наука, 1998.

3.      Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980.

4.      Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

5.      Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1-3. М.: Наука, 1978.

6.      Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функции комплексного переменного. М.: Наука, 1979.

7.      Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

8.      Бронштейн Н.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981.

9.      Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.Д. Демидовича. М.: Наука, 1981.

10. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа/ Под ред. А.В. Ефимова и Б.Д. Демидовича. М.: Наука, 1981.

11. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. (типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1983.

 

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

 

9.  Методические рекомендации по организации изучения
дисциплины

Рекомендации для преподавателя включают в себя следующее:

·        разработку методики изложения курса: структуры и последовательности изложения материала; составление тестовых заданий, контрольных вопросов;

·        разработку методики проведения и совершенствование тематики лабораторных работ; использование в лабораторном практикуме реальных данных и получение имеющих практический смысл результатов;

·        разработка методики самостоятельной работы студентов;

·        постоянную корректировку структуры, содержания курса.

Рекомендации для студента включают в себя следующее:

·        обязательное посещение лекций ведущего преподавателя; лекции – основное методическое руководство при изучении дисциплины, наиболее оптимальным образом структурированное и скорректированное на современный материал; в лекции глубоко и подробно, аргументировано и методологически строго рассматриваются главные проблемы темы; в лекции даются необходимые разные подходы к исследуемым проблемам;

·        подготовку и активную работу на лабораторных занятиях; подготовка к лабораторным занятиям включает проработку материалов лекций, рекомендованной учебной литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подписано в печать		Формат 60x84 1/16
Бумага писчая	Плоская печать	Усл. печ.л.
Уч.-изд. л.	Тираж	Заказ	Цена «С»

 

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19