Утверждаю:
----------------
Зав. каф. ВМ и УМФ П.С.Мартышко
П Р О Г Р А М М А
курса
"Теория вероятности и математическая статистика"
I СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕОЯТНОСТИ
1.
Пространство
случайных событий, элементарное
случайное событие (исход), сложное
событие, достоверное событие,
невозможное событие. Операции на пространстве
событий: противоположное событие, сложение и умножение, свойства операций.
Алгебра событий. Интерпретация формальных определений
применительно к реальным объектам.
2.
Вероятность. Статистический
подход к определению вероятности.
Частота случайного события, устойчивость относительной частоты, другие
свойства. Классическое определение вероятности и его связь со статистическим. Некоторые комбинаторные формулы вычисления
вероятности. Геометрические вероятности. Аксиоматический подход:
определение вероятности, вывод
основных свойств. Связь между различными подходами к вероятности. Условная вероятность. Формула умножения. Независимые события,
статистическая интерпретация. Теорема сложения.
3.
Последовательность испытаний,
прямое произведение пространств, вероятность последовательности
независимых испытаний. Вывод формулы Бернулли.
4.
Схема гипотез. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
II.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Понятие случайная величина (СВ). Закон
распределения. Дискретные и непрерывные СВ. Ряд распределения. Плотность вероятности.
Функция распределения. Свойства
этих функций и связь между ними. Общее определение СВ. СВ смешанного типа, примеры.
Числовые
характеристики СВ. Математическое
ожидание: определение, теоретико-вероятностный
смысл, свойства. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение: определение,
теоретико-вероятностный смысл, свойства. Моменты СВ.
Некоторые
законы распределения. Распределение
Бернулли и Пуассона, связь между ними.
Индикаторная СВ, числовые характеристики распределений
Пуассона и Бернулли. Распределения
равномерное, показательное, Симпсона.
Нормальное распределение: плотность
вероятности, функция распределения, параметры, основные свойства.
Случайный
вектор. Закон распределения двумерного
случайного вектора. Условные и
безусловные распределения составляющих, числовые характеристики, регрессия.
Многомерные функция распределения и
плотность вероятности, связь
между ними, свойства. Независимые
СВ,
критерий независимости, независимость и отсутствие причинно-следственной
связи.
III. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
И СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
Определение функции СВ. Закон
распределения функции дискретной СВ. Плотность
вероятности функции непрерывной СВ: случай монотонной
функции, общий случай. Числовые
характеристики функции СВ. СВ общего вида.
Кусочно-постоянная функция СВ.
Функция случайного вектора. Законы распределения суммы, произведения,
частного СВ. Задача композиции, композиционная устойчивость законов
распределения. Распределение модуля
разности.
IV.ЗАКОН БОЛЬШИХ
ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Сходимость по вероятности. Неравенство и теорема Чебышёва. Закон больших
чисел в форме Бернулли. Понятие о
центральной предельной теореме.
Локальная и интегральная формулы Лапласа, их использование.
V.СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Случайная функция: определение, реализация (траектория),
сечение. Иерархия многомерных функций распределения. Характеристики случайной функции: математическое
ожидание, дисперсия, корреляционная функция,
их свойства. Корреляционная теория случайных процессов. Задание случайной
функции множеством реализаций. Канонические разложения. Сходимость в среднем.
VI.ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Выборка,
генеральная совокупность. Варианта,
вариационный ряд. Выборочный ряд распределения, интервальный ряд
распределения. Характеристики выборки: выборочное среднее, выборочная дисперсия. Полигон и гистограмма.
Выборочная функция распределения.
Точечная
оценка параметров распределения. Требования: несмещеность, состоятельность и
эффективность. Выборочное среднее - точечная
оценка генерального среднего
(матожидания), удовлетворяющая указанным требованиям. Исправленная
дисперсия. Интервальная оценка: доверительный интервал, надежность.
Распределения "хи-квадрат"
и Стьюдента. Интервальная оценка параметров нормального
распределения при известном и неизвестном другом параметре. Интервальная оценка параметра "р"
распределения Бернулли.
Проверка
статистических гипотез: гипотеза простая и сложная. Критерий согласия, критическая область. Ошибки 1го и 2го рода.
Уровень значимости и мощность критерия. Понятие о дисперсионном анализе.
Дисперсии общая, межгрупповая и внутригрупповая. Сравнение средних нормально
распределенных генеральных совокупностей. Критерий Фишера. Поверка гипотезы о
законе распределения с помощью критерия Пирсона (применить к нормальному закону
распределения).
Составил доцент каф. ВМ и УМФ А.Л.Крохин
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.
Теория вероятностей и ее
инженерные приложения. - М.: Наука.- 1988.
2. Вентцель Е.С. Теория
вероятностей. - М.: Наука,1964.
3. Коваленко И.Н., Филиппова
А.А. Теория вероятностей и
математическая статистика. - М.:Высшая школа,1982.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. М.: Наука.- 1991.
5. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и
математическая статистика: Учебник для втузов.- М.:Наука,1989.
6. Основные формулы теории
вероятности: Домашнее задание по курсу «Высшая математика»/ А.Л.Крохин.
Екатеринбург: УГТУ, 1995. 12с.
7. Элементы теории случайных
функций: Методические указания по курсу «Высшая математика»/А.Л.Крохин.
Свердловск:УПИ, 1991. 20с.
8. Случайные величины и функции
случайных величин: Домашнее задание по курсу «Высшая математика»/ А.Л.Крохин.
Екатеринбург:УГТУ, 1995. 18с.
При подготовке к экзамену рекомендуется
прорешать следующие задачи. Номера даны
по источнику Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. -
М.:Наука,1984.
Глава 14.
1.57,58,60,64,69,72,75,78,80,82,85,87,97,98,96,100,109,120,123,127,136,139,144,153,164,165,166,167,175,179,180,181,184,191,202;
2.5,11,12,13,14,17,20,23,29,30,34,37,44,50,53,57,60,61;3.1,3,7,8;4.1,3,6,37,41,42,43,44,46,47,49,59,61,64,67;5.2,3,6,13,17,20,21,24;6.1,2,3,4,8,11,26,29,30,31,32,33,38,41,68,70,71,74,75,80;
Глава 15.
1.3,4,6,16,32,38,52,60,64,70; 2.5,6; 3.1,2,3,
6,13,19,20,21;
4.2,3,7,14,15; 6.12,15,37; 7.25.